魔爪文学

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第2章 新手礼包过目不忘就是爽（第2页）

几个基础公式在他脑海中自动浮现，代入题目给出的具体数值，一系列运算行云流水。

“a2=2，b2=1。所以椭圆c的方程为：x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1。”

仅仅两分钟，第一问便被他轻松拿下。

“第二问，设直线l与椭圆c交于A，b两点，若点p1，12满足pA向量+pb向量=0向量，求直线l的斜率k。”

“pA+=0，意味着p是Ab的中点。利用点差法或者韦达定理……”

秦风的笔尖在草稿纸上飞舞，各种解题方法在他脑海中闪现，并被迅速筛选出最优路径。

设直线l的方程为y?12=kx?1y-frac{1}{2}=kx-1y?21=kx?1，代入椭圆方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程。

1+2k2x2?4k2?2kx+2k2?2k?32=01+2k^2x^2-4k^2-2kx+2k^2--frac{3}{2}=01+2k2x2?4k2?2kx+2k2?2k?23=0

利用韦达定理xA+xb=4k2?2k1+2k2x_A+x_b=frac{4k^2-2k}{1+2k^2}xA+xb=1+2k24k2?2k。

因为p是Ab中点，所以xp=xA+xb2=1x_p=frac{x_A+x_b}{2}=1xp=2xA+xb=1。

4k2?2k21+2k2=1frac{4k^2-2k}{21+2k^2}=121+2k24k2?2k=1

解这个关于k的方程，得到k=?1k=-1k=?1。

“第二问，k=-1，也解决了！”秦风的嘴角不自觉地勾起一抹笑容。

这种攻克难题的快感，是他以前从未体验过的！

真正的挑战，是第三问。

“第三问，在第二问的条件下，过点p作直线m垂直于l，交椭圆c于m，N两点。试问是否存在一个常数λ，使得|pm|·|pN|=λ|pA|·|pb|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。”

这一问，涉及弦长公式、向量模长、以及恒成立问题，计算量和思维难度都陡然提升了好几个档次。

秦风的眉头微微蹙起。

他能感觉到，这一问的难度，已经超出了他刚刚强行记忆下来的那些“套路”所能直接解决的范畴。它需要更深层次的理解和更灵活的运用。

“冷静……仔细分析……”秦风闭上眼睛，脑海中刚刚“吞”下去的无数知识点如同星辰般闪耀。

直线l的斜率为-1，则直线m的斜率为1。

直线m的方程为y?12=1x?1y-frac{1}{2}=1x-1y?21=1x?1，即y=x?12y=x-frac{1}{2}y=x?21。

将直线m的方程代入椭圆方程x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1，得到关于x的一元二次方程：

x22+x?122=1frac{x^2}{2}+-frac{1}{2}^2=12x2+x?212=1

x22+x2?x+14=1frac{x^2}{2}+x^2-x+frac{1}{4}=12x2+x2?x+41=1

;32x2?x?34=0frac{3}{2}x^2frac{3}{4}=023x2?x?43=0

6x2?4x?3=06x^2--3=06x2?4x?3=0

设mx?，y?，Nx?，y?，则x1+x2=46=23x_1+x_2=frac{4}{6}=frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=?36=?12x_1x_2=-frac{3}{6}=-frac{1}{2}x1x2=?63=?21。

ipmi?ipNi=x1?xp2+y1?yp2?x2?xp2+y2?yp2|pm|cdot|pN|=sqrt{x_1-x_p^2+y_1-y_p^2}cdotsqrt{x_2-x_p^2+y_2-y_p^2}ipmi?ipNi=x1?xp2+y1?yp2?x2?xp2+y2?yp2

由于点m，N在直线y=x?12y=x-frac{1}{2}y=x?21上，且p1，12也在这条直线上（因为直线m过p点），所以pm和pN的表达式可以简化。

实际上，p是弦mN上的一个定点。

ipmi?ipNi=ix1?xpx2?xpi?1+km2|pm|cdot|pN|=|x_1-x_px_2-x_p|cdot1+k_m^2ipmi?ipNi=ix1?xpx2?xpi?1+km2，这里km=1k_m=1km=1。

ipmi?ipNi=ix1x2?xpx1+x2+xp2i?1+12|pm|cdot|pN|=|x_1x_2-x_px_1+x_2+x_p^2|cdot1+1^2ipmi?ipNi=ix1x2?xpx1+x2+xp2i?1+12

ipmi?ipNi=i?12?123+12i?2=i?12?23+1i?2=i?3+4?66i?2=i?16i?2=13|pm|cdot|pN|=|-frac{1}{2}-1frac{2}{3}+1^2|cdot2=|-frac{1}{2}-frac{2}{3}+1|cdot2=|-frac{3+4-6}{6}|cdot2=|-frac{1}{6}|cdot2=frac{1}{3}ipmi?ipNi=i?21?132+12i?2=i?21?32+1i?2=i?63+4?6i?2=i?61i?2=31。

这个计算过程，秦风写得极为流畅。

接下来是计算|pA|·|pb|。

直线l的方程为y?12=?1x?1y-frac{1}{2}=-1x-1y?21=?1x?1，即y=?x+32y=+frac{3}{2}y=?x+23。

代入椭圆方程x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1：

x22+?x+322=1frac{x^2}{2}+-x+frac{3}{2}^2=12x2+?x+232=1

x22+x2?3x+94=1frac{x^2}{2}+x^2-+frac{9}{4}=12x2+x2?3x+49=1

32x2?3x+54=0frac{3}{2}x^2-+frac{5}{4}=023x2?3x+45=0

6x2?12x+5=06x^2-12x+5=06x2?12x+5=0

设Ax?，y?，bx?，y?，则x3+x4=126=2x_3+x_4=frac{12}{6}=2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3x_4=frac{5}{6}x3x4=65。

同样，p1，12是弦Ab的中点。

ipAi?ipbi=ix3?xpx4?xpi?1+kl2|pA|cdot|pb|=|x_3-x_px_4-x_p|cdot1+k_l^2ipAi?ipbi=ix3?xpx4?xpi?1+kl2，这里kl=?1k_l=-1kl=?1。

由于p是Ab中点，所以xp=x3+x42x_p=f

;rac{x_3+x_4}{2}xp=2x3+x4，这意味着x3?xp=?x4?xpx_3-x_p=-x_4-x_px3?xp=?x4?xp。

因此，ipAi?ipbi=ipAi2=x3?xp21+kl2|pA|cdot|pb|=|pA|^2=x_3-x_p^21+k_l^2ipAi?ipbi=ipAi2=x3?xp21+kl2。

x3，x4x_3，x_4x3，x4是方程$6x^2-12x+5=0的两个根。判别式的两个根。判别式的两个根。判别式delta=-12^2-4cdot6cdot5=144-120=＞0。。。x_{3，4}=frac{12pmsqrt{24}}{12}=1pmfrac{2sqrt{6}}{12}=1pmfrac{sqrt{6}}{6}。所以，。所以，。所以，x_3=1-frac{sqrt{6}}{6}，，，x_4=1+frac{sqrt{6}}{6}或相反，不影响结果。或相反，不影响结果。或相反，不影响结果。|x_3-x_p|=-frac{sqrt{6}}{6}-1|=frac{sqrt{6}}{6}。。。|pA|^2=frac{sqrt{6}}{6}^21+-1^2=frac{6}{36}cdot2=frac{1}{6}cdot2=frac{1}{3}。所以，。所以，。所以，|pA|cdot|pb|=frac{1}{3}$。

“嗯？|pm|·|pN|=13，|pA|·|pb|=13？”

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