魔爪文学

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第122章 苏松复习遇到难题（第1页）

清晨，教室里已经坐了不少埋头复习的同学。窗外的梧桐树在微风中轻轻摇曳，阳光透过叶片的缝隙，在课桌上投下细碎的光斑。苏松坐在靠窗的位置，面前摊着一本数学练习册，眉头却紧紧皱着，手里的笔悬在草稿纸上，迟迟没有落下。练习册上的函数综合题像是一道无法跨越的鸿沟，题干里的“不等式约束”“实际应用场景”等关键词，让他原本清晰的思路瞬间变得混乱。

“你最近在数学上有何困扰？”一个温柔的声音在耳边响起，白墨端着一杯温热的豆浆，轻轻走到苏松身边，目光落在他面前的练习册上。她注意到苏松已经对着这道题看了快十分钟，手指无意识地摩挲着笔杆，显然是遇到了瓶颈。

苏松抬起头，眼神里带着一丝沮丧，像是找到了宣泄的出口：“函数部分总是让我头疼，尤其是结合不等式和实际应用的题型。你看这道题，说是某工厂生产两种产品，需要根据原料和工时约束求最大利润，既要建立函数模型，又要考虑不等式组的定义域，最后还要用导数求最值，我总是在步骤之间衔接不上，要么漏掉定义域的限制，要么求导后不知道怎么结合实际意义判断极值是否合理。”

白墨在苏松身边的空位坐下，将豆浆递给他，然后从自己的书包里拿出一份装订整齐的错题集。错题集的封面用标签纸写着“数学函数综合题分类整理”，翻开后，每一页都按“基础题型”“提升题型”“综合题型”清晰分类，每道题旁边都用不同颜色的笔标注了错误原因、解题思路和知识点链接。“你看，这些题目是我之前整理的，和你现在遇到的问题很像。”她指着“综合题型”部分，“基础题是函数的基本性质和图像变换，比如求定义域、值域、单调性，这部分你已经掌握得不错了；提升题则是将函数与不等式结合，比如用函数单调性解不等式、求参数范围，这需要你熟练掌握函数和不等式的联系；而综合题则像你现在做的这道，需要结合实际应用，先建立数学模型，再用函数知识解决，这类题的关键是‘先理解题意，再拆解步骤’，不能急于求成。”

苏松接过错题集，仔细翻看着。白墨的字迹工整清晰，每道题的错误原因都分析得十分透彻。比如一道类似的利润最大化问题，她在旁边标注：“易错点：忽略原料和工时的实际限制，导致定义域范围扩大；解题关键：先根据题干列出所有约束条件，画出可行域，再结合函数单调性或导数求最值，最后验证结果是否符合实际意义。”这些标注像是一把钥匙，瞬间打开了苏松的思路。

“原来如此！我总是把基础题搞懂还不够，更深层次的应用还需要多加练习，尤其是步骤拆解和实际意义的验证。”苏松恍然大悟，指着错题集中的一道题，“你看这道题，和我现在做的几乎一样，你在解题步骤里特意把‘列约束条件→画可行域→建函数模型→求最值→验证实际意义’分了五步，每一步都写得很详细，我之前就是没有这样系统地拆解，才会在中间步骤出错。”

“其实这类题的本质是‘翻译’，把实际问题中的文字信息‘翻译’成数学语言。”白墨拿起笔，在草稿纸上为苏松梳理思路，“比如‘原料约束’就是‘某两种原料的消耗量不过库存量’，可以转化为不等式；‘最大利润’就是‘利润函数在可行域内的最大值’，需要结合函数的性质求解。你可以试着先不看答案，把这道题的题干信息逐条列出来，先列约束条件，再建立利润函数，我们一起看看哪里出了问题。”

苏松按照白墨的建议，拿起笔在草稿纸上逐条记录：“产品a每件消耗原料kg，工时小时；产品b每件消耗原料kg，工时小时；原料总量不过ookg，工时总量不过o小时；产品a每件利润o元，产品b每件利润o元，求最大利润。”他一边写，一边在心里默念，试图将文字转化为数学符号。

“很好，现在把这些信息转化为不等式。”白墨在一旁引导，“设产品a生产x件，产品b生产y件，x和y都是非负整数（因为产品数量不能为负，也不能是小数），那么原料约束就是x+y≤oo，工时约束就是x+y≤o，对吗？”

苏松点点头，在草稿纸上写下不等式组：“x≥o，y≥o，x+y≤oo，x+y≤o。然后利润函数是l=ox+oy，接下来就是求l的最大值。”

“那你现在想想，怎么求这个最大值？”白墨没有直接给出答案，而是引导苏松自己思考。

苏松皱着眉，回忆着课堂上老师讲的方法：“可以用线性规划的方法，先画出可行域，找到顶点，再将顶点坐标代入利润函数，比较得出最大值。不过之前老师也说过，对于二元一次函数，最大值通常在可行域的顶点处取得。”

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“没错，那你试着画出可行域，找到顶点坐标。”白墨鼓励道。

苏松拿起直尺，在草稿纸上画出直角坐标系，先画出x+y=oo和x+y=o两条直线，然后根据不等式确定可行域的范围，最后找到可行域的四个顶点：o，o、o，o、o，o、o，o。他将这些顶点坐标代入利润函数l=ox+oy，计算得出：当x=o，y=o时，l=oxo+oxo=oo+oo=oo元，是最大值。

“算出来了！最大利润是oo元！”苏松兴奋地说道，之前的沮丧一扫而空，眼神里重新充满了光芒。

“你看，只要拆解步骤，一步一步来，其实并没有那么难。”白墨笑着说，“你之前之所以觉得难，是因为没有把实际问题和数学知识很好地结合起来，总是急于求成，忽略了中间的拆解过程。接下来一周，每天早晨来教室补做两道综合题怎么样？我已经帮你整理好了类似的题目，从简单到复杂，每天做完后我们一起分析，找出问题所在。这样不仅能查漏补缺，还能逐渐提升自己的解题度和准确率。”

苏松接过白墨递来的另一张纸条，上面列着一周的练习计划，每天两道题，题目难度循序渐进，每道题后面都标注了对应的知识点和易错点。他看着纸条上工整的字迹，又看了看白墨温柔的笑容，心里涌起一股暖流。“谢谢你的帮助，白墨。之前我总是因为遇到难题就退缩，现在有你在身边引导，我好像没那么害怕了。我相信这次二模考试一定能考出理想的成绩。”

“其实你很聪明，只是有时候需要有人帮你梳理思路。”白墨看着苏松，眼神里满是认可，“数学学习就像走迷宫，有时候会遇到岔路，但只要耐心寻找线索，总能找到出口。以后遇到难题，不要一个人闷在心里，我们可以一起讨论，互相启。对了，我这里还有一份函数与不等式结合的知识点总结，里面有很多解题技巧和常见模型，你可以拿去参考，遇到不懂的地方随时问我。”

她从书包里拿出一本笔记本，翻开其中一页，上面总结了“函数单调性与不等式的关系”“导数与不等式证明”“实际应用中的函数建模方法”等内容，每个知识点下面都配有例题和解析。苏松接过笔记本，小心翼翼地放进自己的书包里，像是珍藏一件宝贵的礼物。

接下来的几天，苏松按照白墨的计划，每天早晨提前半小时来到教室，认真做两道函数综合题。遇到不懂的地方，他就先标记出来，等白墨来了一起讨论。白墨也总是耐心地为他讲解，从题干分析到步骤拆解，从知识点链接到易错点提醒，每一个细节都不放过。有时候，苏松会因为一道题的思路和白墨产生分歧，两人就会各自在草稿纸上演算，然后对比结果，找出差异所在，在讨论中加深对知识点的理解。

有一次，苏松在做一道关于“成本控制”的函数综合题时，对“固定成本”和“可变成本”的区分产生了疑惑，导致函数模型建立错误。白墨没有直接告诉他答案，而是举了一个生活中的例子：“比如你买一台打印机，打印机的价格是固定成本，不管你打印多少张纸，这部分成本都不会变；而打印纸的价格是可变成本，打印的纸张越多，可变成本越高。这道题里的‘设备折旧’就是固定成本，‘原材料消耗’就是可变成本，你再结合题干信息，试试重新建立模型。”

苏松听了白墨的例子，瞬间豁然开朗，很快就纠正了之前的错误，顺利完成了题目。“原来结合生活例子，这么容易理解！”他兴奋地说，“之前我总是把自己局限在数学公式里，忽略了实际意义，现在才明白，数学其实和生活息息相关。”

“是啊，数学来源于生活，也应用于生活。”白墨笑着说，“尤其是这类实际应用题型，只要你多联系生活实际，理解题干的含义，就能轻松建立模型。以后做题的时候，不妨多想想‘这道题讲的是什么生活场景’，或许会有不一样的收获。”

随着时间的推移，苏松在函数综合题上的进步越来越明显。之前需要花十分钟才能理清思路的题目，现在五分钟就能完成，而且准确率也大大提高。他不再像以前那样害怕遇到综合题，反而会主动挑战难度更高的题目，遇到问题也能冷静分析，独立解决。

二模考试前一天，苏松和白墨一起在教室复习。苏松拿出自己这一周做的函数综合题，整齐地装订在一起，每道题旁边都标注了详细的解题思路和易错点。“你看，这是我这一周的成果，一共十四道题，只有两道题因为粗心犯了小错，其他都做对了。”他的眼神里满是自豪，“如果不是你帮我梳理思路，制定计划，我肯定还是会像之前一样迷茫。”

白墨看着苏松的成果，脸上露出了欣慰的笑容：“这都是你自己努力的结果，我只是帮你找到了适合自己的学习方法。明天考试的时候，不要紧张，就像平时练习一样，认真读题，仔细演算，相信自己一定可以。”

苏松点点头，心里充满了信心。他知道，这次二模考试，他不仅要考出理想的成绩，更要对得起自己这段时间的努力，对得起白墨的帮助和陪伴。

夕阳西下，教室里的灯光渐渐亮起。苏松和白墨一起收拾好复习资料，并肩走出教室。吹在身上的晚风带着一丝凉爽，吹在脸上格外舒服。两人聊着明天的考试，聊着未来的计划，偶尔相视一笑，不需要太多的言语，却能感受到彼此心中的温暖。苏松看着身边的白墨，心里暗暗下定决心：以后不管遇到什么困难，都要像现在这样，勇敢面对，而白墨，永远是他前进路上最温暖的光。

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