魔爪文学

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第85章 过程分析法 解构小球的自由落体（第1页）

掌握了“动态受力分析”的初步心法后，凌凡感觉自已面对力学问题时，手中多了一把锋利的解剖刀，能够更清晰地剖析瞬间的力与状态变化。然而，物理世界并非总是由静态和瞬时构成，更多的时候，是连续变化的动态过程。如何清晰地分析和描述一个完整的运动过程，成了他面临的新挑战。

这个机会很快到来。郑老师在讲解完匀变速直线运动的基本公式后，并没有急于抛出复杂题型，而是看似随意地提出了一个最基本的问题：

“同学们，我们研究了自由落体运动，知道它是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。公式也很简单：v=gt，h=12gt2。那么，现在我问你们：一个小球从高为h处自由下落，在整个下落过程中，它的动能、重力势能、机械能是如何随时间t变化的？请分别画出它们随t变化的大致图像。”

问题一出，教室里先是安静，随即响起一些轻松的窃窃私语。这太简单了！几乎是送分题！动能增加，势能减少，机械能守恒，一条水平线呗！图像大概就是斜线、下降曲线和平直线。

凌凡一开始也是这么想的。但他下意识地想起了陈景先生的教诲——“建模的艺术”和“在脑海中拍电影”。他没有立刻动笔，而是闭上了眼睛，尝试真正地“看”这个过程。

他想象一个小球，从高处释放。

·t=0时刻：速度v=0，高度h=h。所以动能Ek=0，重力势能Ep=mgh（最大），机械能E=Ek+Ep=mgh。

·t时刻：下落了高度h，根据h=12gt2，此时高度h==h-12gt2。速度v=gt。

·所以，Ep=mgh=mgh-12gt2

·=12mv2=12mgt2=12mg2t2

·E=+=12mg2t2+mgh-12mg2t2=mgh（果然守恒）

数学推导很简单，结论也显而易见。但凌凡没有停止。他尝试着真正去理解这个过程的内涵。

“过程分析，”他回忆起郑老师之前强调过的一个词，“就是要弄清楚谁随谁变，怎么变。”

他盯着那几个表达式：

·Ept=mgh-12mg2t2=＞这是一个关于时间t的二次函数，图像是一条开口向下的抛物线（但只取t≥0的一段）。随着t增加，Ep从mgh开始，非线性地减小，而且减小得越来越快！

·Ekt=12mg2t2=＞这也是一个关于t的二次函数，图像是一条开口向上的抛物线。从0开始，非线性地增加，增加得越来越快！

·Et=mgh=＞常数，一条水平直线。

“非线性地变化……”凌凡捕捉到了关键。这意味着能量的转化不是均匀的！

他再次在脑海中“拍电影”：小球刚开始下落时（t很小），速度慢，动能小，但高度很高，势能很大。此时，重力做的功主要用来增加动能，但因为速度慢，单位时间内下落高度小，所以势能减小的慢，动能增加的也慢。随着下落，速度越来越大。即使时间间隔相同，后面阶段下落的高度也远大于前面阶段。因此，后面阶段势能减少得更快，动能增加得也更快！

这完全体现在了二次函数的图像上！Ep-t曲线是向下弯曲的（减小变快），Ek-t曲线是向上弯曲的（增加变快）！

如果只是简单地认为“动能增加、势能减少”，很容易下意识地画出两条直线（线性变化），那就大错特错了！

“原来如此……”凌凡心中豁然开朗。过程分析，不仅要知其然（增减性），更要知其所以然（变化速率、非线性关系），并能用图像精确表征。

郑老师开始提问同学上去画图。果然，好几个同学在黑板上画出了直线变化的Ek-t和Ep-t图，引来了下面善意的笑声。郑老师没有批评，而是耐心地引导他们从公式出发，思考函数关系。

凌凡更加确信，依赖直觉和模糊印象是学习物理的大忌。

“还有更深入的吗？”郑老师似乎意犹未尽，继续追问，“如果我们考虑动能和势能的比值EkEp随时间如何变化呢？”

这个问题超出了课本要求，同学们都愣住了。

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